유도전동기 토크 발생 원리 – 슬립과 최대토크·기동토크의 관계

유도전동기의 토크는 어떻게 발생할까?

3상 유도전동기는 고정자에서 회전자계를 만들고, 이 회전자계가 회전자 도체에 전압과 전류를 유도한다.

그렇다면 마지막으로 남는 질문은 하나다.

회전자에 전류가 흐르면 어떻게 실제 회전토크가 만들어질까?

유도전동기의 토크는 자기장 속에서 전류가 흐르는 도체가 받는 전자기력에서 시작한다.

즉 회전자계가 회전자 도체와 상호작용하면서 접선방향의 힘을 만들고, 이 힘이 축을 중심으로 회전효과를 만들어 토크가 된다.

하지만 실제 유도전동기의 토크는 단순히 전류가 많다고 무조건 커지는 것이 아니다.

회전자 저항, 회전자 리액턴스, 슬립, 공극자속, 전원전압 등이 함께 영향을 준다.

그래서 토크를 이해하려면 단순한 힘의 식에서 시작해 회전자 회로와 슬립까지 연결해서 봐야 한다.

토크의 출발점은 전자기력이다

자기장 속에 전류가 흐르는 도체가 놓이면 도체에는 힘이 작용한다.

기본적인 관계는

F = BIl sinθ

로 나타낼 수 있다.

여기서

F는 도체에 작용하는 힘,

B는 자속밀도,

I는 도체전류,

l은 자기장 속 도체의 유효길이,

θ는 자기장과 전류 방향 사이의 각도다.

유도전동기의 회전자 도체에는 회전자계에 의해 전류가 유도된다.

따라서 회전자 도체는 공극자계 속에서 전자기력을 받는다.

이 힘이 회전자 둘레에 분포하면서 회전축을 중심으로 토크를 만든다.

힘이 토크로 바뀌는 과정

토크는 회전축을 중심으로 물체를 돌리려는 효과다.

가장 단순한 형태에서는

T = Fr

로 나타낼 수 있다.

여기서

T는 토크,

F는 접선방향 힘,

r은 회전축에서 힘이 작용하는 위치까지의 거리다.

즉 같은 힘이라도 회전축에서 더 멀리 작용하면 더 큰 토크를 만들 수 있다.

실제 회전자에는 많은 도체가 원주방향으로 분포되어 있고, 각 도체가 받는 힘의 합이 전체 전자기토크를 만든다.

회전자 전류는 어디서 오는가

농형 유도전동기의 회전자에는 외부 전원을 직접 공급하지 않는다.

고정자의 회전자계가 회전자 도체와 상대운동을 만들고, 이 상대운동 때문에 회전자 도체에 유도기전력이 발생한다.

그리고 도체바와 엔드링이 폐회로를 이루고 있으므로 전류가 흐른다.

즉

회전자계

→ 상대운동

→ 유도기전력

→ 회전자 전류

→ 전자기력

→ 토크

의 순서로 토크가 발생한다.

왜 회전자는 회전자계와 같은 방향으로 도는가

렌츠의 법칙에 따르면 유도전류는 자신을 발생시킨 원인을 방해하는 방향의 효과를 만든다.

유도전동기에서는 회전자계가 회전자보다 빠르게 회전한다.

회전자 입장에서는 자기장이 자신을 앞질러 지나가는 셈이다.

회전자 전류와 자기장의 상호작용으로 발생하는 힘은 이 상대속도를 줄이는 방향으로 작용한다.

따라서 회전자는 회전자계를 따라가는 방향으로 회전한다.

토크는 회전자 전류가 클수록 무조건 커질까?

단순히 F = BIl만 보면 전류 I가 커지면 힘도 커지기 때문에 토크도 계속 증가할 것처럼 보인다.

하지만 실제 유도전동기에서는 회전자 전류의 위상도 중요하다.

회전자 임피던스는

Z2 = R2 + jX2

이고,

회전자 전류는

I2 = E2 / Z2

로 결정된다.

즉 전류의 크기뿐 아니라 회전자 저항 R2와 리액턴스 X2에 의해 전류의 위상이 달라진다.

토크를 만드는 데 실제로 기여하는 성분은 공극자속과 적절한 위상관계를 가진 회전자 전류 성분이다.

그래서 회전자 전류가 많다고 해서 토크가 무조건 비례해서 증가하는 것은 아니다.

슬립이 토크에 중요한 이유

슬립은

s = (Ns – Nr) / Ns

이다.

회전자 주파수는

f2 = sf1

이고,

회전자 유도기전력은

E2 = sE20

이며,

회전자 누설리액턴스는

X2 = sX20

으로 나타낼 수 있다.

즉 슬립이 바뀌면 회전자 유도기전력과 회전자 리액턴스가 동시에 바뀐다.

그 결과 회전자 전류의 크기와 위상도 변하고 토크 역시 달라진다.

토크식을 단순화하면

기본적인 유도전동기 해석에서 회전자측 토크는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

T ∝ [sR2] / [R2² + (sX20)²]

이 식은 토크와 슬립의 관계를 이해하는 데 매우 중요하다.

여기서 중요한 것은 정확한 비례상수보다 분자와 분모가 슬립에 따라 어떻게 변하는지다.

분자에는 sR2가 있고,

분모에는 R2² + (sX20)²가 있다.

따라서 토크는 슬립에 단순 정비례하지 않는다.

작은 슬립 영역에서는 토크가 슬립에 거의 비례한다

정상운전에서는 슬립이 일반적으로 작다.

이때

sX20 << R2

라고 근사할 수 있는 구간에서는 분모에서

(sX20)²

항의 영향이 작아진다.

따라서

T ∝ sR2 / R2²

이므로

T ∝ s / R2

가 된다.

회전자 저항이 일정하다면

T ∝ s

로 볼 수 있다.

즉 정상운전의 작은 슬립 영역에서는 토크가 슬립에 거의 비례한다.

이 때문에 부하가 증가했을 때 속도가 약간만 감소해도 슬립이 증가하고 토크가 증가할 수 있다.

부하 증가와 토크의 자기조절

유도전동기가 일정한 부하를 구동하고 있다고 하자.

부하토크가 갑자기 증가하면 전동기의 전자기토크보다 부하토크가 커진다.

그러면 회전자는 감속한다.

Nr이 감소하면 슬립이 증가한다.

작은 슬립 영역에서는

T ∝ s

이므로 토크가 증가한다.

결국 증가한 전자기토크가 새로운 부하토크와 같아지는 속도에서 다시 안정된다.

즉 유도전동기는 부하변화에 따라 슬립을 바꾸면서 필요한 토크를 스스로 만들어내는 특성을 가진다.

슬립이 계속 커지면 토크도 계속 증가할까?

그렇지는 않다.

슬립이 커지면 분모의

(sX20)²

항도 커진다.

어느 시점부터는 리액턴스의 영향이 커지면서 토크 증가가 둔해진다.

그리고 특정 슬립에서 토크가 최대가 된다.

이 지점을 최대토크(Maximum Torque) 또는 브레이크다운 토크(Breakdown Torque)라고 한다.

최대토크가 발생하는 조건

기본 토크식

T ∝ [sR2] / [R2² + (sX20)²]

을 슬립에 대해 최대화하면

smax = R2 / X20

이라는 조건을 얻을 수 있다.

즉 최대토크가 발생하는 슬립은 회전자 저항과 정지상태 회전자 리액턴스의 비로 결정된다.

이 식은 매우 중요한 의미를 가진다.

회전자 저항 R2를 증가시키면 최대토크가 발생하는 슬립이 커진다.

즉 최대토크점이 더 낮은 속도 쪽으로 이동한다.

최대토크의 크기는 회전자 저항에 크게 의존하지 않는다

기본적인 이상화 모델에서 최대토크의 크기는 회전자 저항 R2가 변해도 크게 달라지지 않는다.

대신 최대토크가 나타나는 위치, 즉 슬립이 달라진다.

이 특성은 권선형 유도전동기에서 매우 중요하다.

회전자 회로에 외부 저항을 추가하면 최대토크점을 기동영역 쪽으로 이동시킬 수 있다.

즉 높은 기동토크를 얻기 쉬워진다.

권선형 유도전동기에서 외부저항을 넣는 이유

권선형 유도전동기에는 회전자 권선이 있고 슬립링을 통해 외부저항을 연결할 수 있다.

기동할 때 회전자 저항을 증가시키면

smax = R2 / X20

관계에 의해 최대토크가 발생하는 슬립이 증가한다.

기동 순간에는

s = 1

이므로 최대토크점이 s = 1에 가깝도록 만들면 매우 큰 기동토크를 얻을 수 있다.

기동 후에는 외부저항을 점차 제거한다.

이것이 권선형 유도전동기의 대표적인 기동특성 중 하나다.

농형 유도전동기는 저항을 외부에서 바꿀 수 없다

농형 회전자는 도체바와 엔드링으로 완전히 단락되어 있어 회전자 회로에 외부저항을 직접 연결할 수 없다.

따라서 회전자 도체의 재료와 형상, 슬롯구조 자체로 기동특성을 설계해야 한다.

심구형 슬롯이나 이중농형 회전자 같은 구조가 사용되는 이유도 회전자 주파수에 따른 전류분포와 유효저항을 이용해 기동성능을 개선하기 위해서다.

이 내용은 농형 회전자 구조를 다룰 때 더 깊게 볼 수 있다.

기동토크란 무엇인가

기동 순간에는 회전자가 정지해 있으므로

s = 1

이다.

따라서 기동토크는 토크식에 s = 1을 넣은 값과 관련된다.

단순화하면

Tstart ∝ R2 / [R2² + X20²]

가 된다.

즉 기동토크는 회전자 저항과 리액턴스의 비에 크게 영향을 받는다.

회전자 저항이 너무 작으면 기동전류는 클 수 있지만 토크를 만드는 유효성분이 충분하지 않을 수 있다.

왜 기동전류가 큰데 기동토크가 무한히 크지 않을까

기동 순간에는 회전자 주파수가 전원주파수와 같으므로 회전자 리액턴스 X20도 크다.

따라서 회전자 전류가 유도기전력보다 크게 지상할 수 있다.

전류의 크기 자체는 크더라도 토크를 만드는 유효한 성분의 비율이 낮을 수 있다.

그래서 “기동전류가 매우 크다 = 기동토크도 같은 비율로 매우 크다”라고 단순하게 생각하면 안 된다.

전류의 위상과 회전자 임피던스를 함께 봐야 한다.

최대토크를 넘는 부하가 걸리면

부하토크가 증가하면 슬립이 증가하고 토크도 증가한다.

하지만 최대토크점에 도달하면 더 이상 토크를 높일 수 없다.

부하토크가 최대토크보다 더 커지면 전동기는 그 부하를 지탱할 수 없다.

속도가 더 감소하고 슬립은 커지지만 토크는 오히려 감소할 수 있다.

그러면 부하토크와의 차이가 더 커져 회전자는 급격하게 감속한다.

결국 정지에 가까워질 수 있다.

이것이 유도전동기의 스톨과 연결된다.

최대토크와 정격토크는 다르다

정격토크는 전동기가 정격조건에서 연속적으로 운전할 때의 토크다.

반면 최대토크는 전동기가 순간적으로 만들어낼 수 있는 토크 특성의 최대값이다.

정상적인 설계에서는 최대토크가 정격토크보다 충분히 크게 설정되어 있어 부하가 일시적으로 증가하더라도 전동기가 바로 정지하지 않도록 여유를 둔다.

따라서

정격토크

기동토크

최대토크

는 모두 서로 다른 개념이다.

토크는 전압에도 크게 영향을 받는다

유도전동기의 토크는 공급전압에도 매우 민감하다.

일반적인 조건에서 토크는 대략

T ∝ V²

에 가까운 관계를 가진다.

즉 전압이 낮아지면 토크는 전압의 제곱에 비례하여 크게 감소할 수 있다.

예를 들어 전압이 정격의 90%로 떨어지면 토크는 대략

0.9² = 0.81

즉 약 81% 수준으로 떨어질 수 있다.

10% 전압저하가 토크에서는 약 19% 감소로 이어질 수 있다는 뜻이다.

저전압 운전이 왜 위험할 수 있을까?

펌프나 컨베이어처럼 일정한 부하토크가 필요한 설비를 생각해보자.

전압이 떨어지면 전동기가 만들어낼 수 있는 토크가 감소한다.

부하토크를 유지하기 위해 회전속도가 약간 떨어지고 슬립이 증가할 수 있다.

슬립이 증가하면 회전자 전류와 고정자 전류가 증가하는 방향으로 작용할 수 있다.

결국

전압저하

→ 토크능력 감소

→ 슬립 증가

→ 전류 증가

→ 발열 증가

라는 문제가 생길 수 있다.

따라서 전동기는 단순히 전압이 낮다고 전력소비가 항상 줄어드는 장치가 아니다.

전압이 너무 높아도 좋지 않다

전압이 높아지면 토크 여유가 커질 수 있지만 무조건 좋은 것은 아니다.

주파수가 일정한 상태에서 전압이 올라가면 V/f가 증가한다.

그러면 자속밀도가 높아지고 철심포화에 가까워질 수 있다.

여자전류와 철손이 증가하고 발열과 소음이 커질 수 있다.

따라서 유도전동기는 정격전압과 주파수 범위에서 운전하는 것이 중요하다.

토크와 기계적 출력의 관계

회전기의 기계적 출력은

P = Tω

로 나타낸다.

여기서

P는 기계적 출력,

T는 토크,

ω는 각속도다.

각속도는

ω = 2πN / 60

이다.

따라서

T = P / ω

로도 나타낼 수 있다.

같은 출력이라면 회전속도가 낮을수록 더 큰 토크가 필요하다.

이 관계는 전동기의 정격출력과 정격토크를 이해할 때 유용하다.

정격토크를 계산해보자

예를 들어 정격출력이 15kW이고 정격속도가 1750rpm인 전동기를 생각해보자.

각속도는

ω = 2π × 1750 / 60

≈ 183.3 rad/s

이다.

따라서 정격토크는

T = 15000 / 183.3

≈ 81.8N·m

이다.

즉 이 전동기는 정격운전에서 축으로 약 81.8N·m의 토크를 전달한다.

실무에서 자주 쓰는 토크 계산식

출력 P를 kW,

회전속도 N을 rpm으로 사용할 경우 토크를 다음과 같이 간단하게 계산할 수 있다.

T(N·m) = 9550 × P(kW) / N(rpm)

앞의 예제에 적용하면

T = 9550 × 15 / 1750

≈ 81.9N·m

이다.

같은 결과를 훨씬 간단하게 얻을 수 있다.

9550이라는 숫자는 단위변환 과정에서 나온 상수다.

공극전력으로 토크를 표현할 수도 있다

앞에서 공극전력 Pg를 살펴봤다.

회전자의 전자기적 토크를 Te라고 하면 공극전력은 동기각속도 ωs와 다음 관계를 가진다.

Te = Pg / ωs

이 관계가 흥미로운 이유는 공극전력이 회전자 동손과 기계적 변환전력으로 나뉘기 전의 전력이라는 점이다.

동기각속도는

ωs = 2πNs / 60

이다.

기계적 변환전력으로도 같은 토크를 구할 수 있다

기계적으로 변환되는 전력은

Pm = (1-s)Pg

이고,

회전자 실제 각속도는

ωr = (1-s)ωs

이다.

따라서

Pm / ωr

= [(1-s)Pg] / [(1-s)ωs]

= Pg / ωs

이다.

즉

Te = Pg / ωs = Pm / ωr

가 된다.

이는 에너지 변환과 토크가 일관되게 연결되어 있다는 것을 보여준다.

토크-속도 곡선을 큰 흐름으로 이해하면

회전속도가 0인 기동점에서는

s = 1

이고 기동토크가 존재한다.

회전자가 가속하면서 슬립이 감소한다.

토크는 어느 구간에서 증가하거나 높은 값을 유지하다가 최대토크점에 도달한다.

그 이후 동기속도에 가까운 정상운전 영역에서는 슬립이 작아지면서 토크도 거의 슬립에 비례해 감소한다.

동기속도에서

s = 0

이 되면 토크는 0이 된다.

따라서 토크-속도 특성은 단순한 직선이 아니라 비선형 곡선이다.

정상운전점은 어디에서 결정될까?

전동기의 토크-속도곡선과 부하의 토크-속도곡선이 만나는 지점에서 정상운전점이 결정된다.

그 지점에서는

Te = TL

이 된다.

만약 Te > TL이면 전동기는 가속한다.

Te < TL이면 감속한다.

두 값이 같아지는 지점에서는 속도가 일정하게 유지된다.

따라서 실제 전동기 속도는 전동기만의 특성으로 정해지는 것이 아니라 연결된 부하의 토크특성과 함께 결정된다.

팬과 펌프 부하는 토크특성이 다르다

모든 부하가 같은 토크특성을 갖는 것은 아니다.

예를 들어 일부 컨베이어는 속도에 관계없이 비교적 일정한 토크를 요구하는 정토크 부하에 가깝다.

반면 팬과 원심펌프는 일반적인 조건에서 속도가 증가하면 요구토크가 대략 속도의 제곱에 따라 증가하는 특성을 보일 수 있다.

따라서 같은 전동기라도 어떤 부하에 연결하느냐에 따라 가속특성과 정상운전점이 달라진다.

인버터에서는 토크특성이 어떻게 달라질까?

인버터는 주파수와 전압을 조절해 회전자계의 속도와 자속을 제어한다.

기본 V/f 제어에서는 주파수에 맞춰 전압을 조절해 자속을 대략 일정하게 유지하려고 한다.

자속이 일정하게 유지되면 정격 주파수 이하의 일정한 범위에서 비교적 일정한 토크능력을 확보할 수 있다.

정격 주파수 이상에서는 전압을 더 이상 충분히 올릴 수 없는 경우 자속이 감소하는 약계자 영역으로 들어갈 수 있고 토크특성도 달라진다.

이처럼 토크는 전동기 자체뿐 아니라 구동방식과도 밀접한 관계가 있다.

부하토크와 전자기토크를 혼동하면 안 된다

전자기토크 Te는 전동기 내부에서 전자기적으로 만들어지는 토크다.

하지만 실제 축에서 사용할 수 있는 토크는 기계손을 고려해야 한다.

베어링 마찰이나 냉각팬을 구동하는 데도 일부 토크가 사용된다.

따라서 실제 축토크는 전자기토크에서 손실토크를 뺀 값이라고 볼 수 있다.

이 차이를 구분해야 전력과 토크의 흐름을 정확히 이해할 수 있다.

자주 혼동하는 부분

첫째, 유도전동기의 토크는 단순히 회전자 전류의 크기에만 비례하는 것이 아니다.

전류의 위상과 회전자 임피던스도 중요하다.

둘째, 정상운전의 작은 슬립 영역에서는 토크가 슬립에 거의 비례하지만 전체 영역에서 항상 그런 것은 아니다.

셋째, 슬립이 계속 커진다고 토크가 무한히 증가하지 않는다.

최대토크점이 존재한다.

넷째, 최대토크와 기동토크는 같은 값이 아니다.

다섯째, 최대토크와 정격토크 역시 다르다.

여섯째, 기본적인 이상화 모델에서 회전자 저항을 증가시키면 최대토크의 크기보다 최대토크가 발생하는 슬립 위치가 크게 달라진다.

일곱째, 전동기 토크는 전압의 제곱에 매우 민감하다.

여덟째, 큰 기동전류가 반드시 같은 비율의 큰 기동토크를 의미하지는 않는다.

아홉째, 실제 운전속도는 전동기 토크곡선과 부하토크곡선이 만나는 곳에서 결정된다.

마무리

유도전동기의 토크는 회전자계 속에서 회전자 전류가 흐르면서 발생하는 전자기력에서 시작한다.

고정자의 회전자계가 회전자와 상대운동을 하면 회전자에 전압이 유도되고 전류가 흐른다.

그 전류와 자기장의 상호작용이 회전자 도체에 힘을 만들고, 이 힘이 회전축을 중심으로 작용하면서 토크가 된다.

하지만 토크는 단순히 전류의 크기만으로 결정되지 않는다.

슬립이 변하면

회전자 유도기전력,

회전자 주파수,

회전자 리액턴스,

회전자 전류의 크기와 위상

이 함께 변한다.

그 결과 토크도 비선형적으로 변한다.

정상운전의 작은 슬립 영역에서는

T ∝ s

로 근사할 수 있기 때문에 부하가 증가하면 속도가 조금 감소하고 슬립이 증가하면서 더 큰 토크를 만들어낼 수 있다.

하지만 슬립이 계속 증가하면 특정 지점에서 최대토크에 도달하고 그 이후에는 토크가 다시 감소할 수 있다.

최대토크가 발생하는 슬립은 기본적으로

smax = R2 / X20

과 연결된다.

또한 전동기 토크는 대략

T ∝ V²

의 특성을 가지므로 전압저하는 토크능력을 크게 감소시킬 수 있다.

결국 유도전동기의 토크특성을 이해한다는 것은 단순히 힘이 발생하는 원리를 이해하는 것을 넘어 전압, 자속, 회전자 전류, 슬립, 회전자 임피던스와 부하토크가 서로 어떻게 균형을 이루는지 이해하는 것이라고 할 수 있다.

다음 글에서는 유도전동기의 대표적인 두 회전자 구조인 농형 회전자와 권선형 회전자를 비교한다.

특히 단순히 구조가 다르다는 설명에서 끝내지 않고, 왜 권선형은 외부저항으로 높은 기동토크를 얻을 수 있는지, 농형은 왜 구조가 견고하고 유지보수가 쉬운지, 두 방식의 기동·속도제어·효율·유지관리 특성이 어떻게 다른지까지 자세히 살펴본다.