3상 유도전동기의 회전자계는 어떻게 만들어질까?

3상 유도전동기의 동작원리를 설명할 때 가장 먼저 등장하는 말이 있다.

“고정자 3상 권선에 3상 교류전류를 흘리면 회전자계가 발생한다.”

맞는 설명이다.

하지만 여기서 한 단계 더 들어가면 중요한 질문이 생긴다.

고정자 권선 자체는 움직이지 않는다.

전원 역시 단순한 교류다.

그런데 어떻게 움직이지 않는 권선에서 실제로 회전하는 자기장이 만들어질까?

또 단상 교류에서는 왜 같은 방식의 회전자계가 만들어지지 않을까?

그리고 회전자계의 속도는 무엇으로 결정될까?

이 질문들을 이해해야 이후에 배우게 될 유도전동기의 유도전류, 동기속도, 슬립과 토크를 제대로 이해할 수 있다.

먼저 교류전류 하나가 만드는 자기장을 생각해보자

하나의 코일에 정현파 교류전류가 흐른다고 하자.

전류를

i = Im sinωt

로 나타낼 수 있다.

전류가 양의 방향으로 흐르면 코일은 한 방향의 자기장을 만든다.

전류가 증가하면 자기장의 세기도 증가한다.

전류가 최대가 되면 자기장도 최대가 된다.

이후 전류가 감소하면서 자기장도 약해지고, 전류가 0이 되면 자기장도 0에 가까워진다.

전류의 방향이 반대로 바뀌면 자기장의 방향 역시 반대로 바뀐다.

즉 하나의 교류권선이 만드는 자기장은

한 방향으로 강해졌다가

0이 되고

반대 방향으로 강해졌다가

다시 0이 되는

형태를 반복한다.

이를 교번자계(Alternating Magnetic Field)라고 볼 수 있다.

중요한 점은 이 자기장이 공간을 따라 한 방향으로 계속 회전하는 것은 아니라는 것이다.

그렇다면 3상에서는 무엇이 달라질까?

3상 교류전류는 서로 120°의 위상차를 가진다.

이상적인 평형 3상 전류를

ia = Im cosωt

ib = Im cos(ωt – 120°)

ic = Im cos(ωt – 240°)

로 나타낼 수 있다.

세 전류는 크기와 주파수는 같지만 최대값에 도달하는 시간이 서로 다르다.

그런데 전동기의 고정자에는 전류의 시간적 위상차만 존재하는 것이 아니다.

각 상 권선도 공간적으로 서로 다른 위치에 배치되어 있다.

바로 여기에서 회전자계가 만들어진다.

시간 위상차만으로는 충분하지 않다

회전자계를 이해할 때 매우 중요한 개념이 있다.

시간적 위상차와 공간적 위상차가 동시에 존재해야 한다는 것이다.

A상, B상, C상 권선이 모두 정확히 같은 위치에 겹쳐 있다고 생각해보자.

여기에 120° 위상차를 가진 전류를 흘린다고 해도 각 권선의 자기장 축이 동일하기 때문에 우리가 원하는 형태의 회전자계를 만들 수 없다.

반대로 권선은 공간적으로 배치되어 있지만 세 권선에 완전히 같은 위상의 전류를 흘려도 정상적인 3상 회전자계가 만들어지지 않는다.

즉 회전자계의 핵심은

시간적으로 위상이 다른 전류

와

공간적으로 위상이 다른 권선

의 조합이다.

공간적으로 120° 배치한다는 것은 무슨 뜻일까?

가장 단순한 2극 전동기를 생각해보자.

A상 권선의 자기축을 기준으로 잡는다.

B상 권선의 자기축은 A상에서 공간적으로 120 전기도 떨어진 위치에 배치한다.

C상 역시 다시 120 전기도 떨어진 위치에 배치한다.

그러면 각 상 권선이 만드는 자계의 축도 서로 다른 방향을 가진다.

여기에 시간적으로 120° 위상차를 가진 3상 전류를 흘리면 각 순간마다 세 자계의 크기가 달라진다.

세 자계를 벡터적으로 합성하면 합성자계의 방향이 시간에 따라 계속 이동한다.

이것이 회전자계다.

전기각과 기계각은 항상 같은 것은 아니다

여기서 ‘120°’라는 말을 조심해야 한다.

전동기에서는 전기각(Electrical Angle)과 기계각(Mechanical Angle)을 구분한다.

2극 전동기에서는 한 바퀴의 기계각 360°가 전기각 360°에 해당한다.

하지만 극수가 증가하면 달라진다.

전기각 θe와 기계각 θm의 관계는

θe = (P/2)θm

으로 나타낼 수 있다.

여기서 P는 극수다.

예를 들어 4극 전동기에서는

기계각 180°가 전기각 360°에 해당한다.

따라서 “3상 권선이 120° 떨어져 있다”라고 할 때는 단순한 기계적인 각도가 아니라 전기각 기준의 공간배치라는 점이 중요하다.

한 순간씩 회전자계를 따라가보자

이제 2극의 이상적인 3상 권선을 생각해보자.

전류를

ia = Im cosωt

ib = Im cos(ωt – 120°)

ic = Im cos(ωt – 240°)

라고 하자.

먼저

ωt = 0°

인 순간을 보자.

A상 전류는

ia = Im

이다.

B상과 C상 전류는

ib = -0.5Im

ic = -0.5Im

이 된다.

즉 A상은 최대 정방향 자계를 만들고 B상과 C상은 절반 크기의 반대방향 성분을 만든다.

각 권선의 공간적인 위치까지 고려해 세 자계를 합성하면 특정한 방향으로 큰 합성자계가 형성된다.

시간이 조금 지나면 어떻게 될까?

이번에는

ωt = 60°

라고 하자.

각 상 전류의 크기는 다시 달라진다.

A상의 전류는 감소하고,

다른 상의 전류가 증가하면서,

세 상 자계의 합성방향이 이전 위치에서 일정한 각도만큼 이동한다.

다시 시간이 지나면 합성자계의 방향도 계속 이동한다.

즉 각 상의 자기장 자체가 물리적으로 회전하는 것이 아니다.

고정된 세 권선이 만드는 자계의 순간적인 크기가 계속 변하면서 그 벡터합의 방향이 회전하는 것이다.

이 차이를 이해하는 것이 중요하다.

수식으로 회전자계를 확인해보자

공극 둘레의 위치를 전기각 θ라고 하자.

이상적인 정현파 분포를 가정하면 A상 권선이 만드는 기자력은

Fa = Fm cosθ cosωt

와 같은 형태로 나타낼 수 있다.

B상은 공간적으로 120° 이동되어 있고 전류 역시 시간적으로 120° 이동되어 있으므로

Fb = Fm cos(θ – 120°) cos(ωt – 120°)

로 나타낼 수 있다.

C상은

Fc = Fm cos(θ – 240°) cos(ωt – 240°)

가 된다.

전체 기자력은

F = Fa + Fb + Fc

이다.

삼각함수 관계를 이용해 정리하면

F = (3/2)Fm cos(θ – ωt)

형태가 된다.

이 식이 3상 회전자계의 핵심이다.

이 식이 의미하는 것은 무엇일까?

F = (3/2)Fm cos(θ – ωt)

를 자세히 보자.

먼저

3/2 Fm

은 합성자계의 최대 크기다.

시간 t가 변해도 이 값 자체는 일정하다.

즉 이상적인 평형 3상 조건에서는 합성자계의 크기가 일정하게 유지된다.

다음으로

θ – ωt

를 보자.

합성자계가 최대가 되는 위치는

θ – ωt = 0

즉

θ = ωt

이다.

시간이 증가하면 최대자계가 나타나는 공간위치 θ도 계속 증가한다.

바로 이것이 자기장이 공간적으로 회전한다는 수학적인 의미다.

3상 회전자계의 가장 중요한 특징

이상적인 평형 3상 전원과 대칭 권선을 가정하면 합성자계는

크기가 거의 일정하면서

일정한 속도로

한 방향으로 회전한다.

이것이 3상 유도전동기가 부드러운 토크를 만들 수 있는 중요한 이유다.

단순히 자계가 강해졌다 약해졌다 하는 것이 아니라 일정한 크기의 자계가 공간을 따라 회전하기 때문이다.

왜 합성자계의 크기는 1.5배일까?

각 상이 만드는 기자력의 최대값을 Fm이라고 하면 세 상의 합성 결과는

F = 3/2 Fm

크기의 회전자계가 된다.

그렇다고 세 상의 최대값을 단순히

Fm + Fm + Fm = 3Fm

으로 더하면 안 된다.

세 상은 시간과 공간에서 각각 120°의 위상차를 가지고 있기 때문이다.

어떤 순간에도 세 상이 같은 방향으로 동시에 최대값을 만드는 구조가 아니다.

벡터와 공간분포를 함께 합성한 결과가 3/2 Fm이 된다.

회전자계는 얼마나 빠르게 회전할까?

회전자계의 속도를 동기속도(Synchronous Speed)라고 한다.

동기속도 Ns는

Ns = 120f / P

로 나타낸다.

여기서

Ns = 동기속도[rpm]

f = 전원주파수[Hz]

P = 극수

이다.

이 식은 유도전동기에서 가장 중요한 식 가운데 하나다.

왜 120이라는 숫자가 나올까?

먼저 2극 전동기를 생각해보자.

2극에서는 전원의 한 주기 동안 회전자계가 기계적으로 한 바퀴 회전한다.

주파수가 f Hz라면 1초에 f회 회전하는 셈이다.

이를 분당회전수로 바꾸면

60f rpm

이다.

2극에서는

Ns = 60f

이다.

극수가 P일 때 극쌍수는

P/2

이다.

극수가 증가하면 전기적으로 한 주기가 진행되는 동안 자기장이 이동하는 기계각이 줄어든다.

따라서

Ns = 60f / (P/2)

가 되고

정리하면

Ns = 120f/P

가 된다.

즉 120은 특별한 전동기 상수가 아니라

60초 × 2극

의 관계에서 나온 값이다.

60Hz에서는 동기속도가 어떻게 될까?

전원주파수가 60Hz라고 하자.

2극 전동기:

Ns = 120 × 60 / 2

= 3600rpm

4극 전동기:

Ns = 120 × 60 / 4

= 1800rpm

6극 전동기:

Ns = 120 × 60 / 6

= 1200rpm

8극 전동기:

Ns = 120 × 60 / 8

= 900rpm

이다.

즉 같은 60Hz 전원을 사용하더라도 극수가 많아질수록 회전자계의 속도는 낮아진다.

실제 명판 속도는 왜 동기속도보다 낮을까?

4극 60Hz 유도전동기의 동기속도는 1800rpm이다.

하지만 실제 명판을 보면

1760rpm,

1750rpm,

1740rpm

처럼 1800rpm보다 조금 낮은 값이 표시되는 경우가 많다.

왜 그럴까?

고정자의 회전자계는 1800rpm으로 회전하지만 회전자는 정확히 1800rpm까지 도달할 수 없기 때문이다.

회전자와 회전자계 사이에 상대속도가 있어야 회전자 도체에 전압과 전류가 유도되고 토크가 발생할 수 있다.

이 차이가 바로 슬립(Slip)이다.

따라서 동기속도는 회전자의 실제 속도가 아니라 고정자 회전자계의 회전속도라는 점을 구분해야 한다.

극수를 바꾸면 속도가 바뀌는 이유

동기속도는

Ns = 120f/P

이므로 주파수가 일정하다면 극수가 많아질수록 속도가 낮아진다.

극수는 고정자 권선의 배치방식으로 결정된다.

즉 전동기의 속도특성은 단순히 전원주파수만으로 결정되는 것이 아니라 고정자 권선이 몇 극의 자기장을 만들도록 설계되어 있는지도 중요하다.

과거에는 이러한 특성을 이용해 권선결선을 변경하여 극수를 바꾸는 방식의 속도제어도 사용되었다.

인버터가 속도를 조절할 수 있는 이유

동기속도 식을 다시 보면

Ns = 120f/P

이다.

전동기를 제작한 뒤에는 일반적으로 극수 P를 연속적으로 바꾸기 어렵다.

하지만 주파수 f는 전력전자장치를 이용하면 바꿀 수 있다.

인버터(VFD)는 전동기에 공급되는 전원의 주파수를 조절한다.

주파수를 낮추면 회전자계의 동기속도가 낮아지고,

주파수를 높이면 동기속도가 높아진다.

따라서 회전자 속도 역시 이에 따라 변한다.

이것이 인버터를 이용한 유도전동기 속도제어의 기본 원리다.

주파수만 낮추면 되는 것은 아니다

전동기의 자속은 전압과 주파수의 비인 V/f와 밀접한 관계가 있다.

주파수를 낮추면서 전압을 그대로 유지하면 V/f가 커진다.

그러면 철심의 자속밀도가 지나치게 증가하여 자기포화와 여자전류 증가가 발생할 수 있다.

그래서 기본적인 V/f 제어에서는 주파수를 낮출 때 전압도 함께 낮춰

V/f ≈ 일정

하게 유지한다.

즉 인버터는 단순히 주파수만 바꾸는 장치로 이해하면 부족하다.

상순서를 바꾸면 왜 회전방향이 바뀔까?

정상적인 상순서를

A-B-C

라고 하자.

이 순서로 전류가 공급되면 회전자계가 한 방향으로 회전한다.

이번에는 두 상을 서로 바꾸어

A-C-B

순서로 만든다고 하자.

그러면 시간적으로 자계가 최대가 되는 순서가 반대로 바뀐다.

따라서 합성자계의 회전방향도 반대가 된다.

결국 회전자도 반대 방향으로 회전한다.

그래서 현장에서 3상 유도전동기의 회전방향을 바꿀 때는 세 선 가운데 임의의 두 상을 서로 바꾸면 된다.

세 상을 모두 바꾸면 어떻게 될까?

예를 들어

A-B-C

를

B-C-A

로 바꾸는 것은 단순히 각 상의 이름이나 시작점을 순환시킨 것에 가깝다.

상순서 자체는 동일하다.

따라서 회전자계의 방향도 바뀌지 않는다.

회전방향을 반대로 하려면 상순서를 역전시켜야 한다.

즉 임의의 두 상을 교환해야 한다.

한 상이 끊어지면 어떻게 될까?

운전 중 3상 가운데 한 상이 끊어지는 현상을 결상이라고 한다.

이 경우 정상적인 평형 3상 회전자계 조건이 무너진다.

전동기가 이미 회전 중이라면 경우에 따라 계속 회전할 수도 있지만 전류 불평형과 토크 감소, 발열 증가가 발생할 수 있다.

특히 남은 상의 권선에 과도한 전류가 흐르면서 권선 과열로 이어질 위험이 있다.

따라서 결상은 유도전동기에서 중요한 보호대상이다.

전압 불평형도 회전자계에 영향을 줄까?

그렇다.

지금까지는 세 상의 전압 크기가 같고 위상차가 정확히 120°인 이상적인 평형상태를 가정했다.

실제 전원에서 전압불평형이 발생하면 고정자 전류 역시 불평형해질 수 있다.

이 경우 회전자계도 이상적인 하나의 일정한 회전자계로만 볼 수 없게 된다.

대칭분 관점에서는 정상분과 함께 역상분 성분이 나타날 수 있다.

역상분은 왜 전동기에 좋지 않을까?

정상분 전압은 정상적인 회전방향의 회전자계를 만든다.

반면 역상분은 그 반대 방향으로 회전하는 자계를 만든다.

즉 회전자는 정상 방향으로 돌고 있는데 반대 방향으로 회전하는 자기장이 추가로 존재하게 된다.

이 역상자계는 회전자에서 높은 상대속도를 만들 수 있고 추가적인 회전자 전류와 손실, 발열을 발생시킨다.

따라서 작은 전압불평형도 전동기에서는 상당한 전류불평형과 발열 문제로 이어질 수 있다.

단상에서는 왜 같은 회전자계가 만들어지지 않을까?

단상 권선 하나에 교류전류를 흘리면 앞에서 설명한 교번자계가 만들어진다.

이 자계는 한 방향으로 회전하는 것이 아니라 크기와 방향이 주기적으로 변한다.

회전자계 이론에서는 이 교번자계를

서로 반대 방향으로 회전하는 두 개의 동일한 회전자계

로 분해해서 생각할 수도 있다.

정지상태에서는 두 회전자계가 만들어내는 토크가 서로 반대방향이므로 이상적으로 합성 기동토크가 0이 된다.

그래서 단상 유도전동기는 3상 유도전동기와 달리 별도의 기동방법이 필요하다.

3상이 회전기에 유리한 이유

평형 3상 전원과 적절하게 배치된 3상 권선을 사용하면 자연스럽게 일정한 크기의 회전자계를 만들 수 있다.

별도의 복잡한 기계장치 없이 전기적인 위상차와 공간적인 권선배치만으로 회전하는 자기장을 만들 수 있는 것이다.

그리고 이 회전자계가 회전자 도체에 전압과 전류를 유도하여 토크를 발생시킨다.

이것이 3상 교류가 산업용 회전기에서 매우 중요한 이유 가운데 하나다.

회전자계가 있다고 바로 토크가 생기는 것은 아니다

여기서 한 단계 더 구분해야 한다.

고정자에 3상 전원을 인가하면 회전자계는 만들어진다.

하지만 회전자계를 만드는 것과 회전자에서 토크가 발생하는 것은 같은 단계가 아니다.

토크가 발생하려면

회전자계와 회전자 사이에 상대속도가 있어야 하고,

회전자 도체에 유도기전력이 발생해야 하며,

회전자 회로에 전류가 흘러야 하고,

그 전류와 자계가 상호작용해야 한다.

즉

3상 전류

→ 회전자계

→ 상대운동

→ 회전자 유도기전력

→ 회전자 전류

→ 전자기력

→ 토크

의 순서로 이해하는 것이 좋다.

회전자계와 회전자는 서로 다른 속도로 움직인다

고정자 회전자계는 동기속도

Ns = 120f/P

로 회전한다.

반면 회전자의 실제 회전속도를 Nr이라고 하면 정상적인 전동기 운전에서는

Nr < Ns

이다.

두 속도의 차이가 존재하기 때문에 회전자 입장에서는 자기장이 자신을 지나가는 것처럼 보인다.

이 상대운동이 회전자에 유도기전력을 만들어낸다.

따라서 유도전동기의 핵심은 단순한 회전자계 자체가 아니라 회전자계와 회전자 사이의 상대속도라고 볼 수도 있다.

회전자계를 한 번에 정리하면

고정자에 공간적으로 배치된 A, B, C 세 상 권선이 있다.

→ 서로 120° 위상차를 가진 3상 전류가 흐른다.

→ 각 상 권선이 서로 다른 방향의 교번자계를 만든다.

→ 세 자계를 공간적으로 합성한다.

→ 합성자계의 크기는 이상적인 조건에서 일정하다.

→ 합성자계의 방향은 시간에 따라 계속 이동한다.

→ 결과적으로 회전하는 자기장이 만들어진다.

→ 회전자계의 속도는

Ns = 120f/P

로 결정된다.

→ 상순서를 바꾸면 회전자계 방향이 바뀐다.

이것이 3상 유도전동기 회전자계의 핵심 원리다.

자주 혼동하는 부분

첫째, 고정자 권선 자체가 회전하는 것이 아니다.

각 권선은 고정되어 있고 합성된 자기장의 방향이 회전한다.

둘째, 단순히 3개의 교류전류가 있다고 해서 회전자계가 생기는 것이 아니다.

시간적인 위상차와 공간적인 권선배치가 함께 필요하다.

셋째, 120° 공간배치를 말할 때는 전기각과 기계각을 구분해야 한다.

넷째, 동기속도는 회전자의 실제 회전속도가 아니다.

고정자 회전자계의 속도다.

다섯째, 극수가 증가하면 동기속도는 감소한다.

여섯째, 상순서를 역전시키면 회전자계의 회전방향도 반대가 된다.

일곱째, 실제 전압이 불평형하면 완벽한 원형 회전자계가 유지되지 않으며 역상자계에 의해 추가적인 손실과 발열이 발생할 수 있다.

마무리

3상 유도전동기의 회전자계는 고정된 권선이 실제로 움직여서 만들어지는 것이 아니다.

공간적으로 배치된 세 상 권선에 시간적으로 120°의 위상차를 가진 3상 전류가 흐르면서 각 권선의 자계 크기가 순차적으로 변화한다.

이 세 자계를 합성하면

F = (3/2)Fm cos(θ – ωt)

형태의 자계가 만들어진다.

이 식은 합성자계의 크기가 일정하면서 최대자계의 위치가 시간에 따라 이동한다는 것을 보여준다.

즉 전기적인 위상차가 공간적인 회전운동을 하는 자기장으로 변환되는 것이다.

그리고 회전자계의 속도는

Ns = 120f/P

로 결정된다.

주파수가 높으면 빨라지고 극수가 많으면 느려진다.

하지만 여기서 중요한 의문이 하나 남는다.

고정자와 회전자는 전기적으로 직접 연결되어 있지 않다.

그런데 회전자에는 어떻게 전류가 흐를까?

그리고 회전자계가 회전자 주변을 지나가는 것만으로 어떻게 회전자 내부에 전압이 발생할까?

다음 글에서는 유도전동기 회전자에 전압과 전류가 유도되는 과정을 변압기의 전자기 유도와 비교하면서 자세히 살펴본다.