변압기 등가회로는 왜 필요할까? 실제 변압기의 손실과 전압강하를 회로로 이해하기

변압기의 기본 원리만 생각하면 구조는 비교적 단순하다.

1차 권선에 교류전압을 인가하면 철심에 교번자속이 형성되고, 이 자속이 2차 권선과 쇄교하면서 유도기전력이 발생한다.

이상적인 변압기에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.

V1 / V2 = N1 / N2

I1 / I2 = N2 / N1

그리고 손실이 없다고 가정하기 때문에 입력전력과 출력전력이 같다.

하지만 실제 변압기는 이렇게 완벽하게 동작하지 않는다.

권선에는 저항이 있고, 모든 자속이 1차와 2차 권선을 완벽하게 쇄교하지 않으며, 철심에서는 히스테리시스손과 와전류손이 발생한다. 또한 철심에 자속을 형성하기 위한 여자전류도 필요하다.

이러한 실제 현상을 매번 자기회로와 전자기 유도식으로 계산하면 해석이 매우 복잡해진다.

그래서 실제 변압기의 여러 물리현상을 저항과 리액턴스 같은 회로소자로 바꾸어 표현한다.

이것이 변압기의 등가회로(Equivalent Circuit)다.

등가회로를 이해하면 변압기를 실제로 분해하지 않고도 전류, 손실, 전압강하, 효율과 전압변동률을 전기회로 계산만으로 분석할 수 있다.

이상적인 변압기와 실제 변압기의 차이

먼저 이상적인 변압기가 어떤 조건을 가정하는지 살펴보자.

이상적인 변압기에서는

권선저항이 0이고,

철손이 없으며,

누설자속이 없고,

철심의 투자율이 무한히 크며,

자화에 필요한 전류가 거의 0이라고 가정한다.

이 조건이라면 입력된 전력은 손실 없이 모두 2차측으로 전달된다.

하지만 실제 변압기에서는 이러한 조건이 성립하지 않는다.

실제 변압기에는 크게 다음과 같은 비이상적인 요소가 존재한다.

권선저항에 의한 동손

누설자속에 의한 누설리액턴스

철심의 히스테리시스손과 와전류손

철심에 자속을 형성하기 위한 자화전류

등가회로는 이 네 가지를 회로소자로 표현하는 것에서 시작한다.

1차 권선저항 R1은 무엇을 의미할까?

1차 권선은 실제 도체로 만들어진다.

구리나 알루미늄의 저항이 완전히 0일 수는 없으므로 1차전류 I1이 흐르면 권선에서 전압강하가 발생한다.

전압강하는

I1R1

이고 동손은

Pcu1 = I1²R1

이다.

따라서 등가회로에서는 1차 권선의 실제 저항을 R1이라는 직렬저항으로 표현한다.

R1은 단순한 계산용 가상저항이 아니다.

실제 권선도체의 저항을 회로적으로 나타낸 값이다.

2차 권선저항 R2

2차 권선에도 실제 저항이 존재한다.

부하가 연결되어 I2가 흐르면

I2R2

의 전압강하가 발생하고

Pcu2 = I2²R2

의 동손이 발생한다.

따라서 2차측에는 R2라는 직렬저항을 둔다.

변압기의 전체 동손을 단순화하면

Pcu = I1²R1 + I2²R2

로 생각할 수 있다.

즉 등가회로의 R1과 R2는 실제 변압기에서 열로 사라지는 권선손실과 직접 연결된다.

누설자속은 X1과 X2로 표현한다

앞에서 살펴본 것처럼 실제 변압기에서는 모든 자속이 두 권선을 함께 쇄교하지 않는다.

일부 자속은 해당 권선 주변을 통해 흐르며 상대 권선과 충분히 쇄교하지 않는다.

이를 누설자속이라고 한다.

1차 누설자속은 1차측 누설인덕턴스 L1σ를 만들고,

2차 누설자속은 2차측 누설인덕턴스 L2σ를 만든다.

교류에서는

X = 2πfL

이므로 각각

X1 = 2πfL1σ

X2 = 2πfL2σ

라는 누설리액턴스로 표현할 수 있다.

따라서 실제 변압기의 각 권선은 단순한 저항이 아니라

R + jX

형태의 임피던스를 갖는다.

R과 X의 가장 중요한 차이

권선저항과 누설리액턴스는 모두 전압강하를 만들지만 물리적인 의미는 다르다.

저항 R에서는 실제 유효전력이 소비된다.

P = I²R

이 에너지는 주로 열로 변한다.

반면 이상적인 리액턴스 X에서는 평균적인 유효전력이 계속 소비되는 것은 아니다.

에너지가 자기장에 저장되었다가 다시 회로로 반환된다.

따라서

R은 실제 손실과 직접 연결되고, X는 주로 전류의 위상과 전압강하에 영향을 준다.

이 차이는 변압기 효율을 계산할 때 특히 중요하다.

철손은 어떻게 회로로 표현할까?

변압기 철심에서는 히스테리시스손과 와전류손이 발생한다.

이 두 손실은 실제 유효전력을 소비한다.

따라서 등가회로에서는 철손을 철손저항 Rc로 표현한다.

Rc는 전원과 병렬로 연결되는 형태로 나타낸다.

철손전류를 Ic라고 하면

Ic = V / Rc

이고 철손은

Pcore = V² / Rc

로 나타낼 수 있다.

Rc가 클수록 같은 전압에서 철손이 작다는 의미다.

자화전류는 어떻게 표현할까?

철심에 주자속을 형성하려면 자화전류 Im이 필요하다.

자화전류는 이상적으로 공급전압보다 약 90도 늦는 무효전류 성분으로 볼 수 있다.

이를 등가회로에서는 자화리액턴스 Xm으로 표현한다.

Im = V / Xm

이다.

Xm이 크다는 것은 같은 전압에서 작은 자화전류만으로 필요한 자속을 만들 수 있다는 의미다.

따라서 철심의 자기특성이 좋을수록 일반적으로 큰 자화리액턴스를 갖는 방향으로 생각할 수 있다.

Rc와 Xm은 왜 직렬이 아니라 병렬일까?

이 부분이 등가회로에서 매우 중요하다.

철손과 자화작용은 부하전류에 의해 직접 결정되는 것이 아니라 주로 철심에 걸리는 전압과 주파수에 의해 결정된다.

2차측에 부하가 없어도 철심에는 자속이 형성되고 철손도 발생한다.

따라서 Rc와 Xm은 부하와 직렬로 놓는 것이 아니라 전압에 병렬로 연결된 여자분기(Excitation Branch)로 표현한다.

여자분기에는

철손저항 Rc

와

자화리액턴스 Xm

이 병렬로 연결된다.

Rc에는 철손전류 Ic가 흐르고,

Xm에는 자화전류 Im이 흐른다.

이 둘의 벡터합이 여자전류 또는 무부하전류 I0가 된다.

여자분기의 전류 관계

전압을 기준으로 보면 Ic는 거의 동상이고 Im은 약 90도 지상한다.

따라서

I0 = Ic + Im

은 벡터합으로 계산해야 한다.

이상화된 위상관계에서는

I0 = √(Ic² + Im²)

이다.

그리고 무부하역률은

cosφ0 = Ic / I0

로 나타낼 수 있다.

즉 등가회로의 병렬분기만 보더라도 변압기의 무부하전류와 낮은 무부하역률을 설명할 수 있다.

이상변압기는 등가회로에서 왜 남아 있을까?

R1, X1, Rc, Xm, R2, X2를 모두 추가하더라도 1차와 2차의 권수는 서로 다르다.

따라서 전압과 전류의 크기를 권수비에 따라 변환해주는 요소가 여전히 필요하다.

이를 이상변압기(Ideal Transformer)로 표현한다.

권수비를

a = N1 / N2

라고 하면

E1 / E2 = a

이고

I1 / I2 = 1/a

의 관계를 갖는다.

실제 변압기의 등가회로는 결국

실제 손실과 누설효과를 나타내는 R과 X

철심의 여자특성을 나타내는 Rc와 Xm

권수비를 나타내는 이상변압기

의 조합이라고 볼 수 있다.

실제 등가회로를 말로 그려보면

1차측부터 생각해보자.

전원 V1이 있다.

그다음 1차 권선저항 R1과 누설리액턴스 X1이 있다.

그리고 철심의 여자작용을 나타내는 Rc와 Xm의 병렬분기가 존재한다.

그 뒤에는 이상적인 변압기가 있고,

2차측에는 누설리액턴스 X2와 권선저항 R2가 존재한다.

마지막에 부하 ZL이 연결된다.

이 회로를 이용하면 실제 변압기의 대부분의 정상상태 특성을 분석할 수 있다.

왜 2차측 값을 1차측으로 환산할까?

실제 등가회로에는 이상변압기가 중간에 존재한다.

이 상태에서도 계산할 수 있지만 회로해석이 불편하다.

그래서 2차측의 모든 값을 1차측으로 환산하거나, 반대로 1차측 값을 2차측으로 환산한다.

그러면 이상변압기를 회로에서 제거하고 하나의 전압레벨에서 전체 회로를 계산할 수 있다.

이것을 환산 등가회로라고 한다.

임피던스는 왜 권수비의 제곱으로 변할까?

권수비를

a = N1 / N2

라고 하자.

전압 관계는

V1 / V2 = a

이고 전류 관계는

I1 / I2 = 1/a

이다.

임피던스는

Z = V / I

이므로 2차측 임피던스를 1차측으로 환산하면

Z2′ = V1 / I1

이다.

전압은 a배,

전류는 1/a배 관계를 가지므로

Z2′ = a²Z2

가 된다.

즉 임피던스는 권수비가 아니라 권수비의 제곱으로 환산된다.

이것은 변압기 등가회로에서 반드시 이해해야 하는 관계다.

저항과 리액턴스도 a²배가 된다

임피던스가 a²배로 환산되므로 저항과 리액턴스도 마찬가지다.

2차 권선저항을 1차측으로 환산하면

R2′ = a²R2

2차 누설리액턴스는

X2′ = a²X2

가 된다.

따라서 1차측 기준 등가저항은

Req = R1 + R2′

이고 등가누설리액턴스는

Xeq = X1 + X2′

가 된다.

전체 직렬등가임피던스는

Zeq = Req + jXeq

로 표현할 수 있다.

부하도 1차측으로 환산할 수 있다

2차측 부하임피던스 ZL 역시

ZL’ = a²ZL

로 1차측에 환산할 수 있다.

이렇게 하면 이상변압기를 제거하고

전원

→ 등가임피던스

→ 환산된 부하

형태의 일반적인 교류회로처럼 계산할 수 있다.

이것이 등가회로의 가장 큰 장점 중 하나다.

변압기는 임피던스도 변환한다

변압기를 단순히 전압을 높이고 낮추는 장치로만 생각하기 쉽다.

하지만 위 관계를 보면 변압기는 부하의 임피던스도 전원측에서 다르게 보이게 만든다.

Zin = a²ZL

이라는 관계 때문이다.

예를 들어 권수비가 10:1이라면 2차측 1Ω 부하는 이상적인 조건에서 1차측에서

10² × 1 = 100Ω

처럼 보인다.

이 성질은 전력계통뿐 아니라 오디오회로나 고주파회로의 임피던스 정합에서도 활용될 수 있다.

근사 등가회로는 왜 사용할까?

정확한 등가회로는 실제 현상을 잘 표현하지만 계산이 복잡할 수 있다.

일반적인 전력용 변압기에서는 무부하전류 I0가 정격전류에 비해 작은 경우가 많다.

따라서 부하상태를 계산할 때 여자분기를 입력단으로 옮기거나, 경우에 따라 부하계산에서 여자전류의 영향을 작게 보고 근사할 수 있다.

그러면 직렬등가회로는

Req + jXeq

로 매우 간단하게 표현된다.

이것을 이용하면 전압강하와 전압변동률을 비교적 쉽게 계산할 수 있다.

다만 근사라는 사실을 잊으면 안 된다.

등가회로에서 부하시 전압강하가 보인다

부하전류 I2가 흐르면 R2와 X2에서 전압강하가 발생한다.

1차측 환산회로에서는

I2′(Req + jXeq)

형태로 나타낼 수 있다.

따라서 부하전류가 증가할수록 내부전압강하도 증가한다.

특히 부하의 역률에 따라 저항성 전압강하와 리액턴스성 전압강하가 단자전압에 미치는 영향이 달라진다.

이것이 다음 단계인 전압변동률 계산의 출발점이다.

등가회로에서 손실도 구할 수 있다

등가회로를 사용하면 손실 역시 계산할 수 있다.

철손은

Pcore ≈ V² / Rc

이고,

동손은

Pcu = I²Req

형태로 계산할 수 있다.

따라서 전체 손실을 단순화하면

Ploss = Pcore + Pcu

로 볼 수 있다.

그리고 효율은

η = Pout / (Pout + Ploss) × 100%

로 계산할 수 있다.

즉 등가회로 하나로 전압뿐 아니라 손실과 효율까지 연결할 수 있다.

부하가 증가하면 등가회로에서는 무엇이 변할까?

부하가 증가하면 부하전류가 증가한다.

그러면 직렬등가저항 Req에서

I²Req

동손이 증가한다.

또한 직렬등가리액턴스 Xeq에서 발생하는 전압강하도 커진다.

반면 전압과 주파수가 거의 일정하다면 여자분기의 철손과 자화전류는 부하에 따라 상대적으로 크게 변하지 않는 것으로 근사할 수 있다.

즉 등가회로에서도

철손은 비교적 일정하고,

동손은 부하전류의 제곱에 따라 증가한다

는 특성이 그대로 나타난다.

무부하시험으로 Rc와 Xm을 구하는 원리

무부하시험에서는 2차측을 개방하고 한쪽 권선에 정격전압을 인가한다.

측정값을

V0

I0

P0

라고 하자.

무부하에서는 전류가 작기 때문에 권선의 동손을 무시하면

P0 ≈ Pcore

로 볼 수 있다.

철손전류는

Ic = P0 / V0

이다.

자화전류는

Im = √(I0² – Ic²)

이고,

철손저항은

Rc = V0 / Ic

또는

Rc = V0² / P0

로 구할 수 있다.

자화리액턴스는

Xm = V0 / Im

이다.

즉 무부하시험을 통해 여자분기의 Rc와 Xm을 구할 수 있다.

단락시험으로 Req와 Xeq을 구하는 원리

단락시험에서는 한쪽 권선을 단락하고 반대쪽에서 전압을 서서히 인가하여 정격전류가 흐르도록 한다.

이때 측정값을

Vsc

Isc

Psc

라고 하자.

인가전압이 정격전압보다 매우 낮기 때문에 철심의 자속이 작고 철손도 작다.

따라서 입력전력은 대부분 동손으로 볼 수 있다.

등가임피던스는

Zeq = Vsc / Isc

등가저항은

Req = Psc / Isc²

이다.

따라서 등가리액턴스는

Xeq = √(Zeq² – Req²)

로 구할 수 있다.

즉 단락시험으로 직렬분기의 Req와 Xeq을 구할 수 있다.

두 가지 시험만으로 변압기를 상당히 자세히 알 수 있다

무부하시험에서는

Rc와 Xm

을 구한다.

단락시험에서는

Req와 Xeq

을 구한다.

이 네 가지 값이 있으면 변압기의 등가회로를 구성할 수 있다.

그러면 실제 정격부하를 계속 연결하지 않아도

철손,

동손,

효율,

전압강하,

전압변동률,

역률에 따른 특성

등을 상당 부분 계산할 수 있다.

대형 변압기를 실제 정격부하로 직접 시험하는 것은 많은 전력과 설비가 필요할 수 있기 때문에 이러한 시험방법은 매우 유용하다.

간단한 등가회로 계산 예제

예를 들어 2차측 기준으로 환산된 변압기의 직렬등가정수가 다음과 같다고 하자.

Req = 0.05Ω

Xeq = 0.08Ω

부하전류가 100A라면 저항에서 발생하는 전압강하 크기는

IR = 100 × 0.05

= 5V

이다.

리액턴스에 해당하는 전압강하 크기는

IX = 100 × 0.08

= 8V

이다.

하지만 실제 전체 전압강하를 단순히

5 + 8 = 13V

라고 하면 안 된다.

R과 X에서 발생하는 전압강하의 위상이 다르기 때문이다.

부하의 역률과 위상각을 고려하여 벡터적으로 계산해야 한다.

이것이 변압기의 전압변동률에서 역률이 중요한 이유다.

등가회로를 물리적인 변압기와 연결하면

등가회로의 각 요소를 실제 변압기와 연결해보면 다음과 같다.

R1, R2

→ 실제 권선도체의 저항

→ 동손과 저항성 전압강하

X1, X2

→ 누설자속에 의해 발생하는 누설리액턴스

→ 리액턴스성 전압강하와 단락전류 제한

Rc

→ 철심의 히스테리시스손과 와전류손

Xm

→ 철심의 주자속을 만들기 위한 자화작용

이상변압기

→ 권수비에 따른 전압과 전류의 변환

이렇게 연결하면 등가회로는 단순히 시험문제를 풀기 위해 만든 그림이 아니라 실제 변압기의 물리현상을 회로언어로 바꾼 모델이라는 사실을 알 수 있다.

등가회로가 완벽한 실제 변압기 자체는 아니다

등가회로는 매우 유용하지만 어디까지나 모델이다.

실제 변압기에는

철심의 비선형성,

자기포화,

고조파,

온도에 따른 권선저항 변화,

표유손실,

기생정전용량,

주파수에 따른 파라미터 변화

등이 존재한다.

일반적인 전력주파수 정상상태 해석에서는 기본 등가회로만으로 충분한 경우가 많지만, 돌입전류나 과도현상, 고주파특성 등을 분석하려면 더 복잡한 모델이 필요하다.

따라서 등가회로를 실제 변압기와 완전히 동일한 것으로 생각하기보다는 목적에 맞게 실제 현상을 단순화한 모델로 이해해야 한다.

변압기 등가회로를 한 번에 정리하면

실제 변압기에서는

권선에 전류가 흐른다.

→ 권선저항 때문에 R이 필요하다.

일부 자속이 상대 권선과 쇄교하지 않는다.

→ 누설리액턴스 X가 필요하다.

철심에서 철손이 발생한다.

→ 철손저항 Rc가 필요하다.

철심에 주자속을 만들어야 한다.

→ 자화리액턴스 Xm이 필요하다.

1차와 2차의 권수가 다르다.

→ 이상변압기가 필요하다.

그리고 2차측 요소를 1차측으로 환산하면

R2′ = a²R2

X2′ = a²X2

ZL’ = a²ZL

가 되고,

직렬등가정수는

Req = R1 + R2′

Xeq = X1 + X2′

로 정리할 수 있다.

이렇게 실제 변압기의 복잡한 전자기현상을 하나의 교류회로로 바꾸어 계산할 수 있게 된다.

자주 혼동하는 부분

첫째, 등가회로의 모든 저항이 실제 물리적인 저항선이라는 의미는 아니다.

R1과 R2는 실제 권선저항에 대응하지만 Rc는 철손을 회로적으로 표현한 등가저항이다.

둘째, Xm은 철심 안에 실제로 별도의 코일이나 리액터가 들어 있다는 의미가 아니다.

자화현상을 회로적으로 표현한 값이다.

셋째, 누설리액턴스 자체가 동손을 발생시키는 저항은 아니다.

넷째, 임피던스를 다른 권선측으로 환산할 때는 권수비가 아니라 권수비의 제곱을 사용한다.

다섯째, 근사등가회로는 편리하지만 어디까지나 일정한 조건에서 사용하는 근사모델이다.

이 다섯 가지를 구분하면 변압기 등가회로를 단순 암기가 아니라 실제 현상과 연결해서 이해할 수 있다.

마무리

변압기의 등가회로는 실제 변압기에서 일어나는 전자기현상을 전기회로로 바꾸어 표현한 모델이다.

권선의 저항은 R1과 R2,

누설자속은 X1과 X2,

철손은 Rc,

자화작용은 Xm,

권수비에 따른 전압과 전류의 변환은 이상변압기로 표현한다.

또한 2차측의 저항과 리액턴스, 부하를 1차측으로 환산하면 권수비 a의 제곱을 이용해

Z2′ = a²Z2

로 나타낼 수 있다.

이 과정을 통해 복잡한 실제 변압기를 하나의 일반적인 교류회로처럼 해석할 수 있다.

그리고 등가회로를 이해하면 앞에서 따로 배웠던 철손, 동손, 여자전류와 누설자속이 서로 독립된 개념이 아니라 하나의 변압기 안에서 동시에 존재하는 현상이라는 것이 보이기 시작한다.

이제 다음 단계에서는 이 등가회로를 이용해 실제 부하가 연결되었을 때 2차전압이 왜 변하는지 분석할 수 있다.

다음 글에서는 변압기의 전압변동률이란 무엇인지, 왜 부하전류와 역률에 따라 출력전압이 달라지는지, 그리고 지상역률과 진상역률에서는 전압변동이 어떻게 달라지는지를 자세히 살펴본다.